..
quero comprar uma casa
com garagem.
quero que tenha varanda.
fogao  no canto pro frio.
gato no patio.

nao perdi a guerra,
estou  aqui. aqui!

..

..

todas tinha a tua cara
eu sai para te esquecer
vi casais passeando
a musica contava nossa historia
parece que vi vc passando ali

ouvi teu  riso, a voz era tua
todas tinham tua aparencia
parece que vc esta passando
 
eu sai para te esquecer
e fiquei  assim
com o olhar longe
com o coraçao na mao

..

..


Nós passeamos na praia
e vc escreveu na areia.
Iria comigo para onde eu fosse
E onde eu ia vc estava
E onde esta vc agora porque eu, não sei onde estou.
So estou dizendo como fiquei
Aquela brincadeira de amor que vc fez comigo
..

..

A noite eu fico so
E vc me vem e vai pela manha
Quando troca o turno
Por alguém que fica o resto do dia
E ficar sem isso me deixa a morrer
E tantos os amores que vivi
E nem um ficou
Como vc e eu
Eu prometo nunca mais
Ate amanha.

..

..


Hoje quando olhei para fora
Pela janela do avião
Que coisa loca é a vida
As vezes estamos por cima
Hoje quando olhei para fora
pela janela hotel
que coisa louca é a vida
as vezes não estamos em casa
hoje quando olhei pelo retrovisor
do lado direito avistei uma raposa branca
que coisa louca é a vida
pensei que nunca mais sairia do poço
alguém me ligou
que coisa louca é a vida
nem sempre estou com vc

..

..

desapego

Não esqueci a dor e nem quem fez doer
Por isso querida estou saindo hoje
Vou dar umas voltas, beira da praia,
E não digo que vou pensar em vc
Por que talvez nem pense em nada

Rolei de felicidade
Fiquei adolescente apaixonado
E quis viver com vc
Assim sendo querida
Vou sair hoje, para te esquecer.
..

..



Oi,

 bom dia


(queria te dizer algo que demostrasse
como estou me sentindo
algo que te deixasse contente
brilhante, feliz,
eu confio em vc
acredio em ti.
olha, se precisar estarei por aqui
temos uma vida pela frente
fica segura)


amo voce.

..

..

Eu e meu amor fizemos um passeio
Saímos de casa ainda novo
Um pela direita outro pela esquerda
E antes disso dançamos na esquina
Descemos a rua
Subimos no elevador
não te dei nem uma flor
Se não esquecemos é por que é eterno
 
..

..

Se hoje estou só à noite,
E durante o dia,
A culpa é minha.
Por não ter dado o valor que vc tem,
Por não ter entendido
Que quem amava era eu,
Releio os emails e não acredito
Que não estamos juntos
Queríamos ficar juntos,
Queria ficar de bem com vc sempre
Nós fizemos manobras por amor
Sei que a culpa por ter feito vc escrever o que esta escrito,
Ter feito o que fez
Foi minha
Como vou esquecer o que aconteceu conosco
Como vou fazer para te esquecer?
beibe! vc é o minha
beibe
..

..

debaixo dessa roupa
um bebezao
Um sorrisso feito para me agradar
no ouvido ela diz te quero
meu bejo quase à cala
quando grita feito minha
meus tapas a fazem amar
a rolar, a virar os olhos
claro que vou te agarrar
meu bebe – delicia de mulher.

..

..

Quando estou com vc
Te quero
Quando vc vai embora

Vejo os casais passeando
Na praça de alimentação
lembro que tenho um bebezao
Branquinha como a neve.
Olhos olhando para mim
Sem emoção nenhuma.

falta vc quando vc nao esta.




..

..


Dormi bem essa noite
acordei melhor
com olhos de sono
me despertei para vc
toda branquinha.
com a cara seria disse oi
teu sorriso me faz sorrir
bom dia meu bebe.

..

..

Estou parecendo aflito
Parece que tremo por dentro
Eu acordei assim hoje
Queria dar um beijo em vc
preciso do teu abraço
queria teu sorisso
me acalme com teu carinho
estou parecendo aflito

..

..


Meu coração tem dona, mas esta longe,
Podemos sair
Não sonhe comigo, apenas deixe rolar,
Não quero que sofra, eu não sofrerei se não me ligar,
E se achar que vou ficar pensando
Quem sabe
...

..

..


Tempo
So tive vc no meu sonho
O silencio das entre linhas
Me leva para longe
Sei onde vc esta
Mas não posso tocar
Os dias estão se indo mais rápido
Estou sem sonho essa manha
Estou sozinho e as coisas embaralhadas

..

..


Décimo segundo

Mozin anda sonhando com vida nova.
Mas não sabe se vai dar certo
O dia hoje esta bom, mas não sabemos o dia de amanha
Gostaria de estar com quem amo.
Eu gostaria de estar com vc
Fui em um novo lugar e recordei de nos
Queria deixar os problemas para trás

mozin não sabe se vai dar certo
nem Tony sabe


Estou bem beibe
Estou muito bem, beibe.
Ela tem algo de vc
Há algo de bom entre nos
Ela é o meu bebe.
Beibe, agente também não sabe se vai dar certo

..

..



entrei nas salas,
Esvaziei elas
As que aprendi. a que via meu amor
A sala que eu procurava um ola pela manha
Quando cheguei no teu comp
Recordei que vc estave ali o tempo todo
Vou ter que desfazer e ficar so com a recordação
Tudo é nunca mais.
...
Mas, e aquela que não me conquistou?



..

..


Havera sempre alguem para vc amar
Não tem outro jeito
Vamos virando empurrando, rolando
amanha vc vai estar se sentindo melhor
Esquecera que chorou
Por que haverá sempre alguém
precisando do teu amor

..

..


mozinho
vc é meu bebe?
essa noite esta chovendo para mim
por favor , deixe-me entrar
preciso da tua companhia
carinho na ponta do nariz
abrir meus olhos e te ver bem perto
preciso de um pequeno sonho
algo bem simples
que eu consiga  realizar
vc é meu bebe

..

..

Tente entender.
Acho que vc sacou
Aquele sorrisso
a luta.
um leão por dia
Saque de vez
Vc tem que tentar entender

é so filtrado pelo coraçao.

,,

..

recordo
beibe
Beibe bei be beibe bei
beibe beibe
beibe bei
beibe beibe beibe bei
beibe
beibe bei
beibe beibe
beibe bei
saudade todas as manhas
saudade todas as tardes
saudade todas as noites
beibe beibe
beibe bei

ouvi falar de Katmandu
não esqueço vc nunca
nunca vou voltar para casa

beibe bei

beibe

amo vc!

..

..







Eu e vc um do lado do outro
Somando na pintura
Acho que pode ser
Me de uma idéia
De como gosta as torradas
Que sonho te movimenta
Eu e vc começamos
vou dizer como gosto meu bom dia
Eu e você somando na pintura


o coraçao, bem
talvez vc nao se importe
mas eu me importo .
é tudo o que tenho


..

..

oi familia  como vai?
por aqui tudo bem,
frio so do ar cond
e fora isso muito calor
quase nao saio
esta tudo bem no meu trabalho,

embora para mim ta tudo bem
tenque estar tudo bem, 
estou  com o naris entupido, ta um calorao,
se tenho saudade?
claro, ...


mas tudo bem!!!
foi eu que  errei mesmo
como vai as coisas?
tipo
o cactus, o gato o filho, vc.
a sombra ja  resfria a casa
e o gato mimi  voltou?
bem hoje  foi tenso
to cansado, um bejo beibe
 amanha saio cedo

..

as vezes nao sei o que dizer.

..

as vezes nao sei o que dizer.

,,

..

hoje é sábado, 27 - 11 -2010, são 06:15 da manha. os carros ja estao passando na avenida Abdo Saad, estou ouvindo musica clássica, tenho tido pouco tempo, não consegui fazer o queria  para esse ano, lembro que em 2009, eu comentei com alguém, que seria um ano  de grandes feitos, mas  ele esta no final e não tive tempo de filmar um sorriso meu, quando sento  à um computador, não me sinto mais tao bem. parece estar em outra pagina, uma pag que foi um desastre. as vezes assim como vc, eu não sei de nada

..

..

  Faz tempo que não tenho tempo para a internet, mesmo que  ela é 3G (lenta),
mas esta tudo bem, muito trabalho, contas. fui 4 vezes na praia ate agora. (Fazem 8 meses que moro aqui no espirito santo), mas não entrei na água.
sempre que posso vou ate nova almeida,  são 7 Km daqui,  é um passeio muito simpático,
estou achando muito legal viver aqui, não tenho tido muitos problemas, o que todos reclamam é o transito, para se ter uma ideia moro a 36 Km (tempo estimado  22 min) do meu trabalho, levo cerca de  uma hora e quinze a uma hora e quarenta. já fiquei  duas horas e pouco. alem de dos carros ainda tem as reforma das pistas. é pr'acaba, né.
mas tudo bem a paisagem geralmente é a praia, quando não se dorme, o ar condicionado dos seletivos são conhecido como "geladinho" é por demais, fiquei doente outro dia. quando chego  no centro da capital, Vitoria começa a aparecer os navios, coisas muito grandes, navios de carro. é muito poder, "é power", ...alexpower..., bem. vou colocar umas fotos  hora dessas para mostrar o que digo.  
 

ainda não tive tempo de sair para  conhecer  todos os lugares, mais é o caminho de casa para trabalho e as vezes jantar em algum barzinho, não faço comida. agora esta um dia sóbrio, o sol  esta a traz das nuvens, esta  claro como dia só com sombra. 

então uma amiga me ligou, ( luana françolin )

 saímos as vezes. quer passear, quem sabe eu fotografe alguma coisa
..

..

..

..

..



..

..

..

a  autoridade no caso achava que as loucas precisavam de amor.


..

..

fonte: tesouros da juventude 1961

..



..



Ela chegou toda feliz e me encontrou no corredor
Um hall
Veio em minha direçao e me deu o abraço
Durou talvez dois segundo e foi infinito
...
tres meses depois
estou editando
ela me liga
faço um convite
vamos lanchar no aero-porto!?

..

..

Hoje é terça feira e eu estou afim que chegue sexta,
Para pegar na tua mao
E falar aquilo que o telefone não consegue.
Quando vc chega
(Sim nos já sabemos que ninguém tem que saber
Mas te quero, e agora?)
na frente de todos
Vou puxar vc e segurar junto a mim
Confia em mim é so eu e vc então
Por esse segundo terei que prolongar o tempo e faze-lo ser infinito, para nos dois
Não vamos dizer nada por que o tempo desse abraço e pequeno demais, e quero ouvir teu coração,
Sabemos o que queremos dizer. e o que gostariamos de fazer.

..

..

Entao vc pegou na minha mão
E disse que eu te dava positivismo
Do fundo do poço eu vi dois olhos brilharem em minha direção
Era voce.
Simplesmente, quase normal.
Mas vc é especial.
Por que quando vc segurou a minha mão
Eu já estava me segurando na tua.
não deixe eu esquecer vc
Teus olhos entre outros brilhavam em minha direção
Mas não deixe eu ter tempo para recordações

..

..

Beibe não me deixe esquecer
Os dias bons que vivemos juntos
Olha beibe eu não quis te magoar
Foi um momento de pura distração
beibe nao me deixe esquecer
 
..

..

Acordei as cinco

Sei que hoje é sábado e esta cansada, mas
Sabe como é,  hoje é sábado e vc trabalha
Diga para sua mãe que quero conhece-la
Ouvi dizer que vai chover
Vamos ficar pertos meu bem
Bejo tua testa e vc se aconchega em mim
Teu chero é bom, teu olhar meigo.
Bom dia!
São cinco da manha
Hoje é sábado e vc trabalha
Teu dia vai ser bom, vc pode contar comigo.

..

..


Fizemos amor em toda parte
Atrás da porta, no carro, na oficina
Mas esquecemos de nos amar
De ser amigos
De confiar
Nos queríamos tanto
que fazíamos amor onde estávamos
Mas era preciso mais
Era preciso agente se gostar mais
Ficar mais juntos
Sem nada para fazer
Mas tudo bem
Agora já sabemos disso
Eu vou cuidar mais
Quando eu vir amar
Claro que vou amar

..

..

Vou amar vc para sempre
Todos os meus sonhos
Serão acreditando que esteja feliz.

Tenho que dizer
Acordar com vc
Era tudo o que sempre me fez dormir
Aquele abraço com cheiro de nos dois
Nosso gosto,
as mesma coisa nunca fora as mesmas
voltar para casa e te encontrar,
olhar no corredor do mercado e te ver
aquele peso eu nem sentia
as mensagem tinha um toque diferente quando era vc
roupas balançando no varal

brinquedos na caixa
teu sorriso no espelho
minha perna entre as tuas
respiração no ouvido
maça antes de dormir

Acordar com vc
Era tudo o que sempre me fez dormir
Aquele abraço com cheiro de nos dois
Nosso gosto de maça.

..

..

Logo que acordo a melhor opção depois do café.
coca com chocolate
e teus beijos.

acordo no sabado e vou em tua direçao
 chegar em casa.
me faltam teus beijos.
te amo tanto beibe

..

..

Atua nitidez me fazem bem ao coração
Me tornei melhor, eu chego regar as plantas
Últimos final de semana eu dormi a te mais tarde
E senti tua falta

Quando eu olho no espelho
Gostaria que estivesse comigo
demãos dadas pela a vida a fora
Amanha e amanha, e amanha com vc, e amanha com vc,
Sempre com vc beibe
..

..

corremos para a cama na hora de sair
é claro que vamos nos atrasar meu bem
mas vai ser um dia muito legal,
eu e vc bem direitinho
deitadinho as sete da manha
não da tempo para outro banho
hoje é um dia especial beibe
e vc faz parte dele.

..

..

Por mim ficaria contigo um pouco mais
Mas já é tarde e o baseado acabou
Mas prometo estar com vc sempre
Bem cedinho amanha eu vou trabalhar
E quando estiver no transito vou te mandar
Um bom dia, esvaziar meu coração aflito,
com um beijo no final
..

..

desmascarados
Caminhando pelo hall
sorriso e olhos meigos
agora sei que vc sabe ouvir e falar



Quem tem que saber de nos, é nos.
Andamos pelo corredor principal enquanto nos olhavam
E quando eu mostrei a foto
Todos queriam saber quem era
Alguém ficou triste
Ouvi dizerem que mudei
Mas vc sabe que sou o mesmo
Caminhando pela rua todos olham e vc
Nem esta ai. Bem, meu bebe
Acho que despertamos inveja
Olha so como ficam
Agora todos já sabem de nos

..

..

Sexta feira depois de tudo.

Sem pressa
Olhe esse mar
Vc não quer que eu corra.
As ondas chegando
Bem ali
Vamos parar
Vou tirar o sapato
Vamos molhar os pés
O tempo é nosso
So meu e teu
Vc não quer que eu corra
vidros abaixados
(vc ta linda)
ondas chegando
vou tirar o sapato
gostamos disso
o tempo é nosso
so eu e você.



“Com quem gostaria de estar me pergunta
Vc quer que eu fale, mas não sai”

..

..


Será que vc esta olhando o ceu e vendo as mesmas coisas que eu
Será que estamos pensando algo parecido
Talvez vc esteja tão ocupada que nem olhou para o céu ainda
Se fosse agradecer
Diria obrigado
E se fosse pedir
Pediria a de sempre

..

..

Quando vi uma raposa branca
Na pista da direita
Recordei
No meu universo
Era eu e vc.
Se fosse falar o que senti
Ate me senti sozinho
Era para ser eu e vc sempre.
Hoje eu vi uma raposa branca
quando olhei para o lado

..

Vc é toda especial
Teu andar
Não; eu não acho que vc faça por gosto
É tua graça beibe.
Assim como teu beijo
Como posso esquecer
Alguém que amo

..

..


..

..

Uma  meninamulher, a pequena 'Primeira Dama'.

..

..

Fruta pão.   

 

 

                 Apos cozida pode ser fatiada, ou cortada em cubos, tem  aspecto de batata doce, e gosto de mandioca.

  

        

..

..

A matematica em todos os tempos

Em todas as épocas da evolução humana, mesmo  nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado. O sentido do número, em sua significação primi­tiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenómeno mental mais complicado. Se o contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de anímais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pás­saros têm o sentido do número. Se um ninho con­tém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inex­plicável, êle pode distinguir dois de três.

O corvo assassinado

Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreen­der o pássaro, mas em vão; quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima,           e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um tru­que: dois homens entraram na torre, um fi­cou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar,

que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguin­tes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entra­ram na torre e depois saíram quatro, ura atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.

As espécies zoológicas com sentido do nu-. mero são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percep­ção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode despre­zá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civili­zado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não — para ajudar seu sentido do número — artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Esta última,

especialmente, se tornou parte tão integran­te de nossa estrutura mental que os teste» sobre nossa percepção numérica direta resul­taram decepcionantes. Essas provas con­cluem que o sentido visual! direto do nú­mero possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.

Limitações vem de longe

Os estudos sobre os povos primitivos for­necem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completa-mente desprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão tão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.

Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as línguas euro­peias apresentam traços destas antigas limi­tações: a palavra inglesa thriee, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evi­dente conexão entre as palavras latinas três (três) e trans (mais além). O mesmo acon­tece no francês: trois (três) e três (muito).

Como nasceu o conceito de número? Da experiência'? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apai-xonante para discussão filosófica.

Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos sel­vagens atuais, é impossível deixar de con­cluir que sua iniciação matemática foi extre­mamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de nú­mero com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a êle que devemos o progresso da humanidade.

O número sem contagem

Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma ideia clara e lógica de número sem recorrer à contagem. En­trando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos; o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, pode­mos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois con­juntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.

Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemá­tica, e que recebeu o nome de correspondên­cia biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou am­bos os conjuntos se esgotem.

A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais as­sociações de ideias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da pa­lavra "cálculo", da palavra latina ccàculus, que significa pedra.

A ideia de correspondência

A correspondência biunivoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Po­de-se dizer que a contagem se realiza fazen­do corresponder, a cada objeto da coleção(conjunto),um número que pertence àsucessão natural: 1, 2, 3

A  A  A  A

 1     2      3     4 ...  

A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim suces­sivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado fòr oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito.

Mas o homem de hoje, mesmo com co­nhecimento precário de matemática, come­çaria a sucessão numérica não pelo um mas por. zero, e escreveria assim:

0, 1,2, 3,4...

É a sucessão dos números inteiros (forma­da pela dos números naturais com o acrés­cimo do elemento zero). A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da nu­meração escrita. O zero não só permite escre­ver mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o lei­tor — fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores ma­temáticos de todos os tempos; e a nossa nu­meração é muito posterior a todos eles.

Do relativo ao absoluto

Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por compara­ção, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilha­das), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.

Criando conjuntos -modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo, cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica redu­zida à seleção, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspon­dência biunívoca com o conjunto dado.

Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do ca­valo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa pode­ria ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.

É claro que, uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o represen­tava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou uni símbolo! À medida que o homem foi aprendendo a servir-se ca­da vez mais da linguagem, o som das pala­vras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim, os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvi­da ela precedeu de vários milhares de anos a aparição da escrita.

Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível exceção de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes de­ram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

À procura do zero

No que diz respeito à estrutura dos nomes dos números, descobriu-se uma uniformida­de impressionante. Em todos os lugares, os dez dedos da mão deixaram sua marca per­manente. Desde os primeiros tempos da história egípcia estabeleceu-se um sistema de numeração decimal. Esse sistema não tinha um sinal particular para o zero, embora em certos casos os escribas o usassem intui­tivamente, pois deixavam um espaço vazio em seu lugar. A escrita egípcia possuía sím­bolos particulares para as unidades, dezenas, centenas, milhares, etc., repetindo-os da direita para a esquerda tantas vezes quantas necessárias para exprimir o número desejado.

i=i,  10 = n ; 100 = e

Assim: 123 = 111000

A numeração dos babilónios — que usa­vam apenas dois símbolos, um representan­do as unidades e outro as dezenas — apre­sentava duas originalídades: o sistema de posição e a base sexagesimal (apesar de co­nhecerem também a base decimal). Nesse sistema, o valor de um símbolo depende da sua posição relativa dentro do número es­crito, sendo mantido o valor das unidades de primeira ordem, multiplicadas por 60 as de segunda ordem, por 602 as de terceira ordem, e assim por diante. Por exemplo, o número 327 significaria entre os babilónios:

OX602) + (2X60) + 7

l.a ordem      2.a ordem       1.a ordem

(centena^)      (dezena)       (unidade)

No atual sistema decimal, seria:

(3X102)  + (2x10) + 7centena        dezena         unidade

Não existia um símbolo especial para o zero: no período mais avançado da civili­zação babilónica, êle era escrito no início de um número, simplesmente para preen­cher um espaço vazio. Sentia-se a necessi­dade de indicar as ordens que faltavam, pois o símbolo da unidade poderia significar tan­to 1 como 1.0 (=60) ou 1.00 ( = 602= 3 600). Embora em algumas tabuinhas hou­vesse também um espaço vazio para indicar o zero, este ainda não tinha a função de número.

A influência do sistema sexagesimal dos babilónios até hoje persiste na divisão da hora (60 minutos) e do minuto (60 segun­dos). Também no ângulo cada grau é divi­dido em 60 minutos.

Os maias, cujo sistema de numeração era adaptado ao número de dias do ano e tinha base 20, possuíam um símbolo para o zero, mas usado só em conexão com o calendário.

Assim como na China, na Grécia do apo­geu (três séculos antes de Cristo) provocava admiração quem fosse bom calculista. O sis­tema numérico dos gregos empregava as nove primeiras letras do alfabeto para os números de 1 a 9, as nove seguintes para os números de 10 a 90 e mais nove letras para os números de 100 a 900, num total de 27 símbolos.

Como nessa época o alfabeto grego conti­nha somente 24 letras, mais duas letras (F e Q) foram introduzidas, e a outra foi tirada do alfabeto fenício (S). Tamanha complica­ção de sinais nas contas era devida exata-mente à falta do zero, o que acarretava o desdobramento dos símbolos.

Embora já existissem sistemas numéricos com o uso do zero, na índia e entre os maias, apenas por volta do ano 1000 é que o zero e os atuais símbolos gráficos foram trazidos para a Europa pelos árabes, e por isso são chamados algarismos arábicos

Enc; conhecer

..

..

Matematica 

   A influência dos dedos da mão é que explica a base decimal de nosso siste­ma de numeração. Entre as tribos mais atra­sadas da África e da Austrália, existe um sistema de numeração cuja base não é 5 (povos que aprenderam a contar com uma só mão), nem 10 (as duas mãos), nem 20 (as mãos e os pés, como o sistema dos maias e astecas, que dividiam o dia em 20 horas). Trata-se do sistema binário (base 2), adotado por exemplo entre os papuas da Nova Guiné. Essa gente não aprendeu ainda a contar com os dedos, e possui sinais independentes para designar um e dois, e depois algumas combinações para exprimir os números até seis. Além de seis, empre­ga-se uma palavra que significa "montão".

Uma questão de base

O sistema binário só requer dois símbo­los, 0 e 1, por meio dos quais se podem expressar todos os outros números. Por exemplo, 1 + 1 não pode ser escrito 2, mas 10. E essa base numérica, a mais pri­mitiva de todas, já encontrou na eminente figura de Leibnitz um defensor entusiasta. Csse matemático alemão nela viu a própria imagem da criação do universo, consideran­do que a unidade (1) representava Deus e o zero (0) simbolizava o nada. Assim como o Supremo criou todos os seres a partir do nada, esses dois sinais exprimiam todos  os números possíveis e imagináveis.

A vantagem da base dois é a economia de símbolos e maior simplicidade das opera­ções. Há menos regras para multiplicar ou dividir mas — evidentemente — quem não está acostumado achará muito mais difícil. No sistema decimal, temos que decorar cem resultados de soma e cem de multiplicação, enquanto o sistema binário reduz a tabuada a duas regras apenas:

1   +   1   =   10 1   X   1   -   1 Essa  vantagem   é  contrabalançada   pela

necessidade de muitos sinais para represen­tar os mesmos números. Por exemplo:

1 000 000 000 000 (na base dois)

Ainda assim, uma mudança de base em nosso sistema de numeração já foi várias vezes proposta e defendida. Mas, na ver­dade, a adoção do sistema decimal pela hu­manidade é um fenómeno fisiológico, e tal­vez o sistema binário de numeração, fosse-historicamente viável se o homem tivesse, em lugar de dez dedos flexíveis, apenas um toco em cada mão. Enquanto o homem contar por dezenas, seus dedos lhe recorda­rão a origem do passo mais importante de sua vida mental.

O velho encontra o novo

   Não deixa de ser paradoxal que inteli­gências primitivas, como os papuas, se utilizem do mesmo sistema numérico dos atuais computadores eletrônicos. Salários de gran­des empresas, sinais enviados por satélites artificiais, resultados de exames vestibulares — tudo isso e muito mais, o computador ana­lisa matematicamente por intermédio da corrente elétrica. Êle só pode indicar a exis­tência ou a ausência de fluxo, sendo as duas alternativas representadas por dois símbolos (0 e 1) e suas combinações. O sistema biná­rio é que permite o agrupamento automáti­co dos dados e dos resultados tendo em vista o cálculo mecânico.

Por que o computador usa essa base? É simples entender: uma chave elétrica só pode estar ligada ou desligada. À falta de' corrente se associa o símbolo 0, à passagem de eletricidade se associa o símbolo 1. A representação de dez símbolos (0 a 9) exi­giria uma corrente proporcional a cada nú­mero, dando margem a erros pela variação da corrente. Já no caso da base binária,, a possibilidade de confundir uma situação "com corrente passando" e outra "sem cor­rente" é praticamente fmla. Além disso; a corrente elétrica pode ser ligada ou desli­gada no tempo extraordinariamente curto de IO⁶ segundos (1 milionésimo de segun­do ou 1 microssegundo). E os cálculos, que levariam meses se feitos a mão, realizam-se no computador em poucos minutos.

O salto para o infinito

Para o primitivo, e mesmo para o filóso­fo antigo, os números estão impregnados de natureza. Para o homem civilizado de hoje, o número natural é um ente pura­mente matemático, uma conquista de seu pensamento. Com essa atitude, esquecido da origem humilde do número, e abstrain­do-se da realidade imediata, o homem ge­neraliza seus conceitos e estende ao máximo o campo de seu raciocínio.

Só uma criança de 5 anos, ou um selva­gem dos mais atrasados, pode pensar que existe um número maior que todos os outros.   Na   sucessão   dos   números   naturais 1, 2, 3, 4 ...

as reticências indicam que faltam, números a escrever. Quantos? Naquela sucessão, pas­sa-se de um número para o seguinte jun­tando uma unidade. Dado qualquer núme­ro n, por maior que seja, sempre se pode efetuar sobre êle a mesma operação mental, e obter um número maior n + 1- Logo, a sucessão é ilimitada, e existem infinitos nú­meros naturais. Para dar essa ideia, escre­ve-se assim:

1, 2, 3, ... n, ...

Esse mesmo princípio ãe extensão pode ser aplicado ao conjunto dos pontos de uma reta. Tomando ao acaso dois elementos A e B desse conjunto (dois pontos da reta), o segmento AB assim definido pode ser di­vidido ao meio. Repetindo a operação nos dois novos segmentos formados, teremos quatro segmentos menores. Teoricamente, a divisão ao meio pode repetir-se ilimitada­mente, e o segmento AB constará de uma infinidade de pontos: o conjunto dos pon­tos da reta é infinito.

O todo igual à parte

Quando se estudam os conjuntos infini­tos, aparecem surpresas. Considere-se o con­junto N dos números naturais e o conjunto P dos números pares, que está contido no. anterior. A cada número de N. corresponde um de P e um só, o seu dobro. A cada nú­mero de P corresponde um número de N e um só, a sua metade (correspondência biunívoca).

N) 1, 2, 3, ... n, ...

P) 2, 4, 6, ... 2n, ...

Isto quer dizer que P e N são equivalen­tes, e em conjuntos infinitos o todo e a parte se correspondem, o que não acontece em conjuntos finitos, com número limitado de elementos.

        inteiros

                               racionais {

                                                    fracionários

Números reais {

                             irracionais

Uma aplicação importante da mate­mática é a estatística, que coleta e ana­lisa dados referentes a acontecimentos humanos ou fenómenos naturais, a partir dos quais pode fazer previsões. Para ser útil na pesquisa, no planejamento e na fundamentação científica, a estatística precisa obter uma boa amostra, cuidado­samente selecionada, de forma a represen­tar uma média de opinião ou situação, e capaz de refletir a totalidade dos casos. Um moderno fabricante de roupas maculinas certamente deverá conhecer a es­tatura média dos homens e as variações em torno dessa média. Separando, do total das pessoas que compram ternos feitos, uma amostra de cem, obtém-se um gráfico como o da figura, versão mate­mática da situação ilustrada acima. Esse diagrama chama-se "distribuição normal" e informa que a altura média é de 1,67 m. Dois terços dos indivíduos estão entre 1,60 e 1,75 m, e 96% num intervalo de 15   cm   acima   ou   abaixo   da   média.

A extensão dos campos numéricos

As quatro operações matemáticas funda­mentais são: adição, subtração, multiplica­ção e divisão. A estas é preciso acrescentar mais três, diretamente ligadas a elas: poten­ciação, radiciação e logaritmação. Em face da definição e das propriedades de uma operação, surgem certas impossibilidades que a matemática elimina apelando ao mes­mo princípio de extensão, graças ao qual se criam novos campos numéricos. Para fazer frente à impossibilidade de divisão (exata) em números inteiros, foram defini­dos os números racionais. Este novo campo abrange o conjunto dos números inteiros e mais o formado por números fracionários(fraçoes) que são de fato os novos elemen­tos. Aparece aí outra dificuldade; a opera­ção de radiciação é em geral impossível no campo racional. Então êle é novamente es­tendido, criando-se os números irracionais (por exemplo raiz quadrada de 3, o número π). Cons­titui-se assim o campo real, cuja grande fa­çanha é estabelecer uma correspondência biunívoca entre os números e os pontos da reta, integrando perfeitamente a álgebra com a geometria.

Noção de função

É a mesma e maravilhosa ideia de cor­respondência, nascida das contagens rudi­mentares do homem primitivo, que inspira o conceito de função matemática e sua re­presentação num "sistema de referência" constituído por retas ou eixos orientados. Um objeto, abandonado em queda livre do alto de um prédio, atingirá o solo num tempo que depende do espaço percorrido. Após várias experiências, feitas de diferen­tes andares do edifício, teremos uma tabela que consiste em duas sucessões de núme­ros: o conjunto í (dos tempos) e o conjun­to e (dos espaços), postos em correspondên­cia um com outro. Diremos que a variável í é função da variável e e escreveremos sim­bolicamente: t — f (e), ou í (e).

Para representar geometricamente essa função algébrica, podem-se marcaT os diver­sos valores de í num eixo, os de e num ou­tro eixo, perpendicular ao primeiro. Cada par de valores define um ponto do plano, assim como — com mais um eixo — um trio de números define um ponto do espaço. Esse sistema referencial chama-se cartesiano, por ter sido usado pela primeira vez por René Descartes, na primeira metade do século XVII. A obra de Cartesius, como era co­nhecido esse matemático e filósofo francês, marca uma. revolução na matemática e na filosofia: em cada ponto do mundo, êle conseguira pregar uma etiqueta identifica­dora. Era a completa quantificação do universo.

A estrutura da matemática

A matemática constitui uma série sempre renovada e ampliada de "julgamentos sobre fatos". O enunciado de um fato matemáti­co é a proposição, e o processo que faz apa­recer a verdade de uma proposição é uma demonstração. Uma proposição demonstra­da chama-se teorema. Os objetos sobre os quais se faz uma proposição estão compreen­didos numa certa "intuição", isto signifi­cando que as palavras proposição, teorema e demonstração são tomadas no sentido co­mum. Seus respectivos "equivalentes formais" são   as  palavras   fórmula,   tese   e   dedução.

A matemática como ciência é portanto constituída de proposições e demonstrações que se referem a certos objetos intuitivos. A natureza desses objetos e de suas proprie­dades distingue a matemática das outras formas de conhecimento. Para definir uma estrutura matemática, basta delimitar o do­mínio das noções intuitivas que lhe é pró­prio, noções "primitivas" isentas de demons­tração. A evolução lógica da matemática se apresenta como uma série de reduções nos domínios intuitivos e de ampliações nos campos numéricos. E a axiomatização (ou formalização) é o termo reservado à etapa final desse processo, que se exprime na moderna teoria dos conjuntos. Nesta, a partir de uns poucos postulados ou axiomas, estabelece-se uma estrutura formal — atra­vés de símbolos operacionais — que engloba as teorias clássicas e dentro da qual as pro­priedades são gerais. Letras representam os elementos do conjunto, e todas as demons­trações podem ser feitas sem que se saiba qual a "natureza" desses elementos.

O nome no singular

Assim, a matemática, que no século XIX superou todos os progressos realizados em mais de 20 séculos anteriores, libertou-se da filosofia e absorveu a lógica. Ganhou uma unidade que justifica seu nome no singular. E construiu uma soberba estrutura cientí­fica, que vem sendo aplicada na biologia, na linguística e de um modo geral nas ciên­cias da vida e da sociedade.

A linguística matemática, por exemplo, teve um impulso sensacional na década de 1950, quando surgiu o problema das tra­duções mecanizadas. Assim como a lógica, por muito tempo considerada especulação vazia, e que de repente se tornou essencial para o projeto e a programação dos compu­tadores, a teoria da linguagem se transfor­mou em elemento essencial para a máquina de traduzir, ganhando marcante interesse prático.

 Enc. Delta

..