..

Matematica 

   A influência dos dedos da mão é que explica a base decimal de nosso siste­ma de numeração. Entre as tribos mais atra­sadas da África e da Austrália, existe um sistema de numeração cuja base não é 5 (povos que aprenderam a contar com uma só mão), nem 10 (as duas mãos), nem 20 (as mãos e os pés, como o sistema dos maias e astecas, que dividiam o dia em 20 horas). Trata-se do sistema binário (base 2), adotado por exemplo entre os papuas da Nova Guiné. Essa gente não aprendeu ainda a contar com os dedos, e possui sinais independentes para designar um e dois, e depois algumas combinações para exprimir os números até seis. Além de seis, empre­ga-se uma palavra que significa "montão".

Uma questão de base

O sistema binário só requer dois símbo­los, 0 e 1, por meio dos quais se podem expressar todos os outros números. Por exemplo, 1 + 1 não pode ser escrito 2, mas 10. E essa base numérica, a mais pri­mitiva de todas, já encontrou na eminente figura de Leibnitz um defensor entusiasta. Csse matemático alemão nela viu a própria imagem da criação do universo, consideran­do que a unidade (1) representava Deus e o zero (0) simbolizava o nada. Assim como o Supremo criou todos os seres a partir do nada, esses dois sinais exprimiam todos  os números possíveis e imagináveis.

A vantagem da base dois é a economia de símbolos e maior simplicidade das opera­ções. Há menos regras para multiplicar ou dividir mas — evidentemente — quem não está acostumado achará muito mais difícil. No sistema decimal, temos que decorar cem resultados de soma e cem de multiplicação, enquanto o sistema binário reduz a tabuada a duas regras apenas:

1   +   1   =   10 1   X   1   -   1 Essa  vantagem   é  contrabalançada   pela

necessidade de muitos sinais para represen­tar os mesmos números. Por exemplo:

1 000 000 000 000 (na base dois)

Ainda assim, uma mudança de base em nosso sistema de numeração já foi várias vezes proposta e defendida. Mas, na ver­dade, a adoção do sistema decimal pela hu­manidade é um fenómeno fisiológico, e tal­vez o sistema binário de numeração, fosse-historicamente viável se o homem tivesse, em lugar de dez dedos flexíveis, apenas um toco em cada mão. Enquanto o homem contar por dezenas, seus dedos lhe recorda­rão a origem do passo mais importante de sua vida mental.

O velho encontra o novo

   Não deixa de ser paradoxal que inteli­gências primitivas, como os papuas, se utilizem do mesmo sistema numérico dos atuais computadores eletrônicos. Salários de gran­des empresas, sinais enviados por satélites artificiais, resultados de exames vestibulares — tudo isso e muito mais, o computador ana­lisa matematicamente por intermédio da corrente elétrica. Êle só pode indicar a exis­tência ou a ausência de fluxo, sendo as duas alternativas representadas por dois símbolos (0 e 1) e suas combinações. O sistema biná­rio é que permite o agrupamento automáti­co dos dados e dos resultados tendo em vista o cálculo mecânico.

Por que o computador usa essa base? É simples entender: uma chave elétrica só pode estar ligada ou desligada. À falta de' corrente se associa o símbolo 0, à passagem de eletricidade se associa o símbolo 1. A representação de dez símbolos (0 a 9) exi­giria uma corrente proporcional a cada nú­mero, dando margem a erros pela variação da corrente. Já no caso da base binária,, a possibilidade de confundir uma situação "com corrente passando" e outra "sem cor­rente" é praticamente fmla. Além disso; a corrente elétrica pode ser ligada ou desli­gada no tempo extraordinariamente curto de IO⁶ segundos (1 milionésimo de segun­do ou 1 microssegundo). E os cálculos, que levariam meses se feitos a mão, realizam-se no computador em poucos minutos.

O salto para o infinito

Para o primitivo, e mesmo para o filóso­fo antigo, os números estão impregnados de natureza. Para o homem civilizado de hoje, o número natural é um ente pura­mente matemático, uma conquista de seu pensamento. Com essa atitude, esquecido da origem humilde do número, e abstrain­do-se da realidade imediata, o homem ge­neraliza seus conceitos e estende ao máximo o campo de seu raciocínio.

Só uma criança de 5 anos, ou um selva­gem dos mais atrasados, pode pensar que existe um número maior que todos os outros.   Na   sucessão   dos   números   naturais 1, 2, 3, 4 ...

as reticências indicam que faltam, números a escrever. Quantos? Naquela sucessão, pas­sa-se de um número para o seguinte jun­tando uma unidade. Dado qualquer núme­ro n, por maior que seja, sempre se pode efetuar sobre êle a mesma operação mental, e obter um número maior n + 1- Logo, a sucessão é ilimitada, e existem infinitos nú­meros naturais. Para dar essa ideia, escre­ve-se assim:

1, 2, 3, ... n, ...

Esse mesmo princípio ãe extensão pode ser aplicado ao conjunto dos pontos de uma reta. Tomando ao acaso dois elementos A e B desse conjunto (dois pontos da reta), o segmento AB assim definido pode ser di­vidido ao meio. Repetindo a operação nos dois novos segmentos formados, teremos quatro segmentos menores. Teoricamente, a divisão ao meio pode repetir-se ilimitada­mente, e o segmento AB constará de uma infinidade de pontos: o conjunto dos pon­tos da reta é infinito.

O todo igual à parte

Quando se estudam os conjuntos infini­tos, aparecem surpresas. Considere-se o con­junto N dos números naturais e o conjunto P dos números pares, que está contido no. anterior. A cada número de N. corresponde um de P e um só, o seu dobro. A cada nú­mero de P corresponde um número de N e um só, a sua metade (correspondência biunívoca).

N) 1, 2, 3, ... n, ...

P) 2, 4, 6, ... 2n, ...

Isto quer dizer que P e N são equivalen­tes, e em conjuntos infinitos o todo e a parte se correspondem, o que não acontece em conjuntos finitos, com número limitado de elementos.

        inteiros

                               racionais {

                                                    fracionários

Números reais {

                             irracionais

Uma aplicação importante da mate­mática é a estatística, que coleta e ana­lisa dados referentes a acontecimentos humanos ou fenómenos naturais, a partir dos quais pode fazer previsões. Para ser útil na pesquisa, no planejamento e na fundamentação científica, a estatística precisa obter uma boa amostra, cuidado­samente selecionada, de forma a represen­tar uma média de opinião ou situação, e capaz de refletir a totalidade dos casos. Um moderno fabricante de roupas maculinas certamente deverá conhecer a es­tatura média dos homens e as variações em torno dessa média. Separando, do total das pessoas que compram ternos feitos, uma amostra de cem, obtém-se um gráfico como o da figura, versão mate­mática da situação ilustrada acima. Esse diagrama chama-se "distribuição normal" e informa que a altura média é de 1,67 m. Dois terços dos indivíduos estão entre 1,60 e 1,75 m, e 96% num intervalo de 15   cm   acima   ou   abaixo   da   média.

A extensão dos campos numéricos

As quatro operações matemáticas funda­mentais são: adição, subtração, multiplica­ção e divisão. A estas é preciso acrescentar mais três, diretamente ligadas a elas: poten­ciação, radiciação e logaritmação. Em face da definição e das propriedades de uma operação, surgem certas impossibilidades que a matemática elimina apelando ao mes­mo princípio de extensão, graças ao qual se criam novos campos numéricos. Para fazer frente à impossibilidade de divisão (exata) em números inteiros, foram defini­dos os números racionais. Este novo campo abrange o conjunto dos números inteiros e mais o formado por números fracionários(fraçoes) que são de fato os novos elemen­tos. Aparece aí outra dificuldade; a opera­ção de radiciação é em geral impossível no campo racional. Então êle é novamente es­tendido, criando-se os números irracionais (por exemplo raiz quadrada de 3, o número π). Cons­titui-se assim o campo real, cuja grande fa­çanha é estabelecer uma correspondência biunívoca entre os números e os pontos da reta, integrando perfeitamente a álgebra com a geometria.

Noção de função

É a mesma e maravilhosa ideia de cor­respondência, nascida das contagens rudi­mentares do homem primitivo, que inspira o conceito de função matemática e sua re­presentação num "sistema de referência" constituído por retas ou eixos orientados. Um objeto, abandonado em queda livre do alto de um prédio, atingirá o solo num tempo que depende do espaço percorrido. Após várias experiências, feitas de diferen­tes andares do edifício, teremos uma tabela que consiste em duas sucessões de núme­ros: o conjunto í (dos tempos) e o conjun­to e (dos espaços), postos em correspondên­cia um com outro. Diremos que a variável í é função da variável e e escreveremos sim­bolicamente: t — f (e), ou í (e).

Para representar geometricamente essa função algébrica, podem-se marcaT os diver­sos valores de í num eixo, os de e num ou­tro eixo, perpendicular ao primeiro. Cada par de valores define um ponto do plano, assim como — com mais um eixo — um trio de números define um ponto do espaço. Esse sistema referencial chama-se cartesiano, por ter sido usado pela primeira vez por René Descartes, na primeira metade do século XVII. A obra de Cartesius, como era co­nhecido esse matemático e filósofo francês, marca uma. revolução na matemática e na filosofia: em cada ponto do mundo, êle conseguira pregar uma etiqueta identifica­dora. Era a completa quantificação do universo.

A estrutura da matemática

A matemática constitui uma série sempre renovada e ampliada de "julgamentos sobre fatos". O enunciado de um fato matemáti­co é a proposição, e o processo que faz apa­recer a verdade de uma proposição é uma demonstração. Uma proposição demonstra­da chama-se teorema. Os objetos sobre os quais se faz uma proposição estão compreen­didos numa certa "intuição", isto signifi­cando que as palavras proposição, teorema e demonstração são tomadas no sentido co­mum. Seus respectivos "equivalentes formais" são   as  palavras   fórmula,   tese   e   dedução.

A matemática como ciência é portanto constituída de proposições e demonstrações que se referem a certos objetos intuitivos. A natureza desses objetos e de suas proprie­dades distingue a matemática das outras formas de conhecimento. Para definir uma estrutura matemática, basta delimitar o do­mínio das noções intuitivas que lhe é pró­prio, noções "primitivas" isentas de demons­tração. A evolução lógica da matemática se apresenta como uma série de reduções nos domínios intuitivos e de ampliações nos campos numéricos. E a axiomatização (ou formalização) é o termo reservado à etapa final desse processo, que se exprime na moderna teoria dos conjuntos. Nesta, a partir de uns poucos postulados ou axiomas, estabelece-se uma estrutura formal — atra­vés de símbolos operacionais — que engloba as teorias clássicas e dentro da qual as pro­priedades são gerais. Letras representam os elementos do conjunto, e todas as demons­trações podem ser feitas sem que se saiba qual a "natureza" desses elementos.

O nome no singular

Assim, a matemática, que no século XIX superou todos os progressos realizados em mais de 20 séculos anteriores, libertou-se da filosofia e absorveu a lógica. Ganhou uma unidade que justifica seu nome no singular. E construiu uma soberba estrutura cientí­fica, que vem sendo aplicada na biologia, na linguística e de um modo geral nas ciên­cias da vida e da sociedade.

A linguística matemática, por exemplo, teve um impulso sensacional na década de 1950, quando surgiu o problema das tra­duções mecanizadas. Assim como a lógica, por muito tempo considerada especulação vazia, e que de repente se tornou essencial para o projeto e a programação dos compu­tadores, a teoria da linguagem se transfor­mou em elemento essencial para a máquina de traduzir, ganhando marcante interesse prático.

 Enc. Delta

..